Quelques bases d'analyse
Résumé
Les mathématiques à vingt ans c'est la promesse de lier les notions scientifiques abstraites à une axiomatique crédible et simple, or dès qu'on met le nez dans l'axiome de l'ordinal infini et l'axiome de substitution on déchante. Il s'agit donc de développer une axiomatique où ces axiomes sont absents. Je montre qu'on peut remplacer ces axiomes par un seul axiome qui s'énonce : il existe un ensemble non fini. Plus précisément, on montre que c'est un modèle tronqué mais efficace de l'axiomatique naive de Kuratowski et Halmos (sans l'axiome de l'ordinal infini et sans l'axiome de substitution) qui permet de fonder les mathématiques élémentaires sur 8 axiomes, 6 axiomes fixant l'alphabet et la grammaire d'une logique mathématique acceptable et deux axiomes permettant de donner des fondations solides aux bavardages mathématiques. Un outil mis au jour par cette axiomatique est l'axiome du choix qui affirme que dans une famille non vide d'ensembles non vides il existe une procédure logique permettant de choisir un élément et un seul dans chacun de ces ensembles, cet axiome est généralement utilisé sous sa forme lemme de Zorn, lemme qui entraine aussi l'existence d'un bon ordre sur chaque ensemble et permet ainsi de mettre en évidence une procédure logique de choix. Je rappelle que si on travaille avec l'axiome du choix, sans ordinal infini, et avec l'axiome de substitution tout ensemble de notre univers est fini puisque l'axiome de substitution entraine que tout ensemble bien ordonné est en bijection avec un ordinal. Ainsi l'axiome du choix et la négation de l'axiome de l'ordinal infini nécessitent aussi la négation de l'axiome de substitution si on veut invoquer l'existence d'un ensemble non fini, cela montre qu'il faut faire un petit effort pour définir les ensembles d'entiers naturels. Après avoir défini les ensembles d'entiers naturels et montré que l'existence d'un tel ensemble est équivalente à l'existence d'un ensemble bien ordonné sans élément maximal, je montre que l'axiome du choix et l'existence d'un ensemble non fini entrainent l'existence d'un ensemble d'entiers naturels. L'existence des ensembles d'entiers naturels et leurs propriétés sont à la base de toutes les mathématiques puisque c'est à partir des entiers naturels qu'on peut construire tous les espaces numériques. Enfin mon axiomatique est plus faible que ZFC au sens ou toute conséquence de mon axiomatique sera aussi une conséquence de ZFC. A part quelques généralités qui servent de base commune à l'analyse et à l'algèbre, il y a peu de résultats d'algèbre, mais qu'il s"agisse de résultats d'analyse ou d'algèbre le jeu consiste à mettre en évidence leurs relations avec les axiomes de bases.