, espace des formes et écrire une 1-forme ? comme une combinaisons de ces 1-formes de base. C'est ici que les mathématiciens ont introduit une notation qui peut paraître déroutant aux physiciens 3 , mais qui s'avère extrêmement féconde. Il existe par exemple un (unique) 1-forme ? x tel que ? x (e x ) = 1 ; ? x (e y ) = 0
, Un exemple de 1-forme est la force f en mécanique 4 . Quand sous l'action de cette force, un point matériel bouge du point P 1 au point P 2 , le travail (qui un scalaire) de cette force est f ( P 1 P 2 ), c'est à dire l
, De la même façon que nous déénissions un champ de vecteur (pensez le champ de déplacement u(x, y, z) des points d'un corps matériel sous 2
, Advanced Calculus : A Diierential Forms Approach Un très beau livre sur les formes diiérentielles, écrit il y a une quarantaine d'année et n'ayant rien perdu de sa beauté. La plupart des livres sur les formes diiérentielles sont réservés aux étudiants avancés de mathématiques, où l'exposé est noyé sous des tonnes de " théorème-démonstration, Edwards fait jaillir toute la beauté de ces objets mathématiques . Pour une lecture plus avancé mais toujours aussi élégant
, Partial diierential equations of mathematical physics Un grand tour des EDP de la physique, écrit par un des grands chercheurs du domaine qui sait également être très pédagogue
, A Radical Approach to Lebesgue's Theory of Integration. Nous n'avons pas abordé l'intégrale de Lebesgue dans ce cours. Il est rare pour un physicien d'avoir besoin d'autres choses que des intégrales de Riemann (à l'exception de la théorie des équations diiérentielles stochastiques). Cependant, pour l
, Les tenseurs (en majorité ) et les formes diiérentielles (en minorité) sont les deux langues principales de la physique. Il existe une troisième langue, développée depuis le milieu du XIXème siècle (algèbre de Grassman) que nous appelons de nos jours l'algèbre géométrique. Les concepts de n?vecteurs et n?formes sont généralisés (on peut faire des mélanges) et la dérivation extérieure et intérieure sont uniiées
, Beaucoup de thèmes indispensables ont été négligés dans ce manuscrit. La théorie des fonctions holomorphes et l'analyse complexe sont très bien traité chez Bass ou Byron et Fuller, nous suggérons également le livre d'Albowitz