Logique
Résumé
Le fondement des mathématiques est aujourd'hui construit sur des axiomes. Pour simplifier, nous dirons qu'un axiome est une phrase qui est vraie en soi et qui n'a pas besoin d'être prouvé puisque qu'évidente. Le regroupement de certains axiomes forment la base d'une théorie. Les axiomes sur les ensembles forment la théorie des ensembles. Rien n'empêche d'avoir des groupes d'axiomes différents pour parler d'une même théorie. L'étude des différents groupes d'axiomes d'une même théorie s'appelle la théorie des modèles. Cela ne veut pas dire que les conséquences axiomatiques à l'intérieur des théories sont identiques ! Ainsi il existe la théorie des ensembles Z (Z pour Zermelo), la théorie des ensembles ZF (Zermelo-Frankel) ou la théorie des ensembles ZFC (théorie ZF à laquelle on rajoute l'axiome du choix). Le regroupement des axiomes sur les entiers naturels forment la théorie de l'arithmétique. Il existe le modèle de Peano ou le modèle de Prespurger. Ce qu'on attend de nos théories c'est qu'au moins elles ne comportent pas de contradictions en elles-même et dans ce cas nous parlerons de théories cohérente ou consistante. Dans ces théories, nous pouvons édicter un certain nombre de principes : formules, théorèmes...mais quand est-il de leurs véracités ?(vraie ou faux). Il apparaît donc la nécessité de mettre en place des moyens de raisonnements, de preuves fiables pour valider ou non nos principes, à partir bien sûr d'axiomes. Les axiomes de démonstration sont regoupés pour former la théorie de la logique. Il existe plusieurs modèles de logique : la logique classique (dite des prédicats aussi [Cantor,Hilbert...]) et la logique intuitionniste (dite constructiviste [Kronecker, Poincaré, Brouwer...]). Les adeptes de la logique intuitionniste, comme son nom l'indique basent un certain nombre de résultats sur l'intuition et pour eux une démonstration doit être constructiviste dans le sens où chaque objet doit être crée. A contrario dans la logique classique l'on pourra montrer que tel ou tel objet existe sans pour autant le décrire. Le modèle (d'axiomes) intuitionniste n'utilise donc pas le même modèle (d'axiomes) des logiciens classiques. Hilbert se demanda si dans toute théorie, l'ensemble des principes énoncés vrais étaient démontrables à partir des axiomes. Dans l'affirmation on dit alors que la théorie est complète. Kurt Godel en 1929, prouva dans sa thèse que la logique classique était complète. En voici d'autres : la théorie de l'aritmétique au sens Prespurger, la théorie des corps algébriquement clos, la théorie des réels clos...Par contre Godel démontra que la théorie des ensembles (Z,ZF,ZFC) était incomplète, de même que la théorie de l'aritmétique au sens Peano. Citons les théories incomplètes comme, la théorie des groupes, des anneaux ou des corps. Dans ce présent volume, nous allons poser les bases axiomatiques de la logique classique au travers de connecteurs logiques, de prédicats et des quantificateurs.