C. Théorème, Soit µ une mesure ?-finie sur R. Pour tout 1 ? p ? ?, L p (µ) muni de la norme f p := |f | p (x) µ(dx) 1/p est un espace de Banach

C. Remarque, ? L 1 (µ) n'est PAS le dual de L ? (µ) en général !

C. Exercice and E. Soit, Sa topologie faible est une topologie moins fine que la topologie forte

B. Alors, V. Est-compact-pour-la-topologie-*-faible-sur, and E. , Si E est séparable (i.e., admet une partie dénombrable dense), alors B ,V ) est métrisable pour la topologie *-faible On pourra se référer aux théorèmes 3

T. Montrer-que-m-est-invariante-et-ergodique-pour, On pourra considérer une fonction invariante f ? L 2 (m) et sa série de Fourier. (T 2 , T ) est-il topologiquement transitif ? (*) Montrer que pour Lebesgue presque tout (u, v, w) ? R 3

?. R. Montrer-que-pour-tout-x, 0 et unreì evement de g sur ]x?, x+[, i.e., une application continue G x :]x ? , x + [? R vérifiant ? ? G x = g. Cereì evement est-il unique ? (2) En déduire l'existence d'unreì evement de g sur R (on pourra commencer par construire unreì evement sur un intervalle compact arbitraire)

F. Soit and . Unreì-evement-de-f, Déterminer F (x + 1) ? F (x) Pour x ? R, on pose ?(F, x) := lim n?? (F n (x)?x)/n. En utilisant la monotonie de F et en comparant x ? [0, 1] avec x = 0 et x = 1, montrer que l'ensemble des valeurs d

. Prouver-la-réciproque-du, Indication : on pourra montrer que si F n'a pas de point fixe alors ?(F ) = 0)

. Rreì-evements-de-f and . Respectivement, Est-il nécessairement vrai que F ?H = H ?G ? Peut-on toujours satisfaire l'´ equation précédente par un bon choix des relevés ? En déduire que F (x + 1) ? F (x) = G(x + 1) ? G(x) On appelle cette valeur commune le degré topologique de f . Expliquez pourquoi il ne dépend pas du choix du relevé de f . En déduire que si N, M ? 1 sont deux entiers distincts

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