M. Dans-ce-cas, Le théorème de Lax?Milgram montre que l'on peut prendre M ad = {(b, c) ? M, b > 0}

U. Cas-intermédiaire-est-celui-où, intervalle, mais aussi en un point intérieur Pour fixer les idées, nous supposerons que u est connu en 1/2. L'espace D est ici D = R 2 , et d obs est un couple

. Où-y-est-À-valeur-dans-r-dr-d, Nous supposerons que l'on mesure y à certains instants ? 1 , . . . , ? Q . Le problème est de retrouver a, donc M = R d . D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz [2], le problème de Cauchy

A. Définition, Un opérateur (linéaire, continu) A d'un espace de Hilbert E dasn un espace de Hilbert F est une application linéaire continue de E dans F, c'est-à-dire qui vérifie

A. Théorème, Soit A un opérateur linéaire de E dans F. L'image par A d'un ouvert de E est un ouvert de F

. Dans-le, espace d'arrivée F est le corps des scalaires, on parle de forme linéaire. L'espace vectoriel des formes linéaires continues s'apelle l'espace dual de E, et se note E . Dans le cas d'un espace de Hilbert, le dual s'identifie de façon canonique à l'espace lui-même

A. ?. Théorème, Soit L une forme linéaire continue sur E. Il existe un unique vecteur x 0 ? E tel que (A.17) L(x) = (x 0, ?x

A. Théorème, Soit A un opérateur linéaire continu de E dans F. Il existe un unique opérateur de F dans E, noté A * , tel que : (A.18) A * v)

. Preuve, Fixons tout d'abord v ? F. L'application

E. =. , F. Qui-montre-de-plus-que, and A. , Comme nous venons de voir que A et A *

A. Remarque, En dimension finie, en identifiant l'application linéaire A a sa matrice dans des bases orthogonales de R n et R p , on voit que la matrice de l'opérateur adjoint n'est autre que la matrice transposée de A (prendre u = e i , i = 1

A. Proposition, Soient A et B sont deux opérateurs linéaires, ? et ? deux scalaires, Linéarité : (?A + ?B) * = ?A * + ?B * . ? Composition : (AB) * = B * A *

A. Proposition, On a les relations suivantes (ou X indique l'adhérence de l'ensemble X) : ? Ker A * = (Im A) ?

A. Définition, Un opérateur dans E est dit auto-adjoint si et seulement si

A. Remarque, En dimension finie, les opérateurs auto-adjoints sont ceux qui ont une matrice symétrique

A. Remarque, Cette condition veut dire que si B ? E est borné, A(B) (l'adhérence de A(B)) est compacte dans F

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